Lista 13 - Equações de Hamilton-Jacobi

1
a) Construa a formulação equivalente a Equação de Hamilton-Jacobi, mas baseado em uma função geratriz do tipo 3.

b)Aplique a na solução do oscilador harmônico unidimensional de massa m e frequência angular $\omega$. Resolva completamente o problema.

Resolução:

a) A função do tipo 3, $F_{3} = F_{3}(p,Q,t)$ será reescrita como uma função do tipo $S=S(p,Q,t)$, e temos as relações que são conhecidas desta função geradora:

$q = -\dfrac{\partial S}{\partial p}\,\, e\,\, P = \dfrac{\partial S}{\partial Q}$

Para a transformação canônica  podemos escrever uma Kamiltoniana da seguinte forma:

$\displaystyle K = H(q,p,t) + \dfrac{\partial S(p,Q,t)}{\partial t}$ e a Kamiltoniana será nula por hipótese se encontrarmos a transformação canônica adequada. Assim:

$ H(q,p,t) + \dfrac{\partial S(p,Q,t)}{\partial t} = 0$                               (1)

Para separar as variáveis vamos supor uma função $S$ do tipo:

$S(p,Q,t) = W(p,Q)-V(Q)t$

E tomando a derivada parcial de S e igualando a H vemos que: $H = V = \alpha$, pois as duas funções são de variáveis independentes. E reescrevendo S temos:

$S = W(p,Q) - \alpha t$, esta equação fornece as soluções desejadas para cada problema.

b) A Hamiltoniana do oscilador unidimensional de massa $m$ e frequência angular $\omega$ é dado por:

$H = \dfrac{p^{2}}{2m} + \dfrac{1}{2}m\omega^{2}q^{2}$

Para aplicarmos a solução encontrada precisaremos reescrever $H= H(\dfrac{\partial S}{\partial p})$ o que fornece a seguinte equação:

$H = \dfrac{p^{2}}{2m}+ \dfrac{m\omega^{2}}{2}(\dfrac{\partial S}{\partial p})^{2}$

do item a) vimos que $S = W(p,Q) - V(Q)t é uma forma de separar as variáveis do problema, fazendo esta substituição e tomando as derivadas das funções podemos escrever:

$H = \dfrac{p^{2}}{2m} + \dfrac{m\omega^{2}}{2}(\dfrac{\partial W(p,Q)}{\partial p})^{2}$

Da expressão para S, e da equação (1) vemos que $H = \dfrac{\partial S}{\partial t} = \alpha$, onde $\alpha$ é uma constante. E podemos, então escrever:

$ \dfrac{\partial W(p,Q)}{\partial p} =  \dfrac{1}{m\omega}\sqrt{2m\alpha - p^{2}}$

Que pode ser integrado em $p$ fornecendo:

$W = \dfrac{\alpha}{\omega}(\frac{1}{2}\sin(2\theta) + \theta)$

Retornando para as variáveis originais temos:

$W = \dfrac{\alpha}{\omega}(\frac{p}{\sqrt{2m\alpha}}\sqrt{1-\frac{p^{2}}{2m\alpha}}+ arcsin(\frac{p}{\sqrt{2m\alpha}})$

E podemos escrever a função de Hamilton como: 

$S = \dfrac{\alpha}{\omega}(\frac{p}{\sqrt{2m\alpha}}\sqrt{1-\frac{p^{2}}{2m\alpha}}+ arcsin(\frac{p}{\sqrt{2m\alpha}})-\alpha t$

E como $q = -\dfrac{\partial S}{\partial p}$, podemos escrever $\alpha \omega = \beta$ o que fornece uma equação que permite determinar $p$ como:

$p(t) = \sqrt{2\alpha}sin(\omega t - \beta)$

e

$q(t) = -\sqrt{\frac{2\alpha}{m\omega^{2}}}\cos(\omega t - \beta)$

2


a) O que são variáveis de ação-ângulo? Qual sua relação com a teoria de Hamilton-Jacobi?

b) Faça uso destas variáveis e resolva o problema do oscilador harmônico simples.

Resolução

a) Como vimos a função principal de Hamilton-Jacobi, pode ser relacionada a integral de ação do sistema $S = \int Ldt$, e pelo princípio de Hamilton esta grandeza é estacionária para a evolução do sistema, ou seja pode ser considerada cíclica, o que possibilita usar essa grandeza como variável canônica, e neste caso esta grandeza é dita ser uma variável de ação. e o seu momento conjugado é chamado de variável ângulo.


b) Como vimos para o oscilador harmônico temos que:

$H = \dfrac{p^{2}}{2m} + \dfrac{1}{2}m\omega^{2}q^{2} = \alpha$

Que é constante do movimento, já que $H$ independe explicitamente do tempo. É possível reescrever esta equação como :

$(\frac{p}{\sqrt{2m\alpha}})^{2} + (\sqrt{\dfrac{m}{2\alpha}}\omega q)^{2} = 1$

Precisamos determinar a integral de ação, para um caso de um momento J tal que:

$J = \frac{1}{2\pi}\oint pdq$

Fazendo $a = 2m\alpha\, \, e \, \, b = \frac{m\omega^{2}}{2\alpha}$ podemos determinar de modo direto o valor da área desta integral que fornece:

$J = \frac{\alpha}{\omega}$, 

Ou seja:

$H = \omega J$. 

fornece a frequência deste movimento. e as equações horárias são as mesmas equações paramétricas da elipse: 

$p(t) = acos(X)\, \, e \, \, q(t) = bsin(Y)$ 

O que resulta na mesma solução encontrada na questão 1)