Lista de Exercícios 03: Lagrangiana.

1) Demonstre que $\ddot{\vec{r}}\dfrac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{j}} = \dfrac{d}{dt}[\frac{\partial}{\partial \dot{q}_{j}}(\dfrac{v_{i}^{2}}{2})]- \dfrac{\partial}{\partial q_{j}}(\dfrac{v_{i}^{2}}{2})$

Resolução:

Escrevendo a equação $\ddot{\vec{r}}\dfrac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{j}}$ como: $$\dot{\vec{v}}\dfrac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{j}} \quad (1),$$
e reescrevendo este ultimo termo como a derivada do produto temos:  $$\dot{\vec{v}}\dfrac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{j}}  = \dfrac{d}{dt}(\vec{v}\dfrac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{j}})-\vec{v}_{i}\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{j}})\quad  (2)$$
A parcela com sinal negativo surge devido a regra da cadeia para derivada do produto. Lembrando que: $$\dfrac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{j}}= \sum_{j}\dfrac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{j}}\dot{q}_{j} + \dfrac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial t} = \vec{v}_{i}\quad (4).$$
Como a derivada desta equação com relação as velocidades generalizadas $\dot{q}_{j}$ é dada por:
$$\dfrac{\partial \vec{v}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}} = \dfrac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{j}} \quad (5)$$
O  termo $\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{j}})$ da equação (2), pode ser reescrito considerando que é possível inverter a ordem das derivadas parcial e total e ficamos com a seguinte expressão: $$\dfrac{\partial}{\partial q_{j}}(\dfrac{d \vec{r}_{i}}{dt}) = \dfrac{\partial \vec{v}_{i}}{\partial q_{j}} \quad (6)$$
Substituindo as expressões (5 e 6) na equação (2), temos:
$$\dot{\vec{v}}\dfrac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{j}}  = \dfrac{d}{dt}(\vec{v}\dfrac{\partial \vec{v}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}})-\vec{v}_{i}\dfrac{\partial \vec{v}_{i}}{\partial q_{j}}\quad  (2)$$

Notando que:  $ \vec{v}\dfrac{\partial \vec{v}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}} = \dfrac{\partial \vec{v}_{i}^{2}}{2\partial \dot{q}_{j}}$ e que  $\vec{v}_{i}\dfrac{\partial \vec{v}_{i}}{\partial q_{j}}  = \dfrac{\partial \vec{v}_{i}^{2}}{2\partial q_{j}}$, logo:

$$\ddot{\vec{r}}\dfrac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{j}} = \dot{\vec{v}}\dfrac{\partial \vec{r}_{i}}{\partial q_{j}} =  \dfrac{d}{dt}[\frac{\partial}{\partial \dot{q}_{j}}(\dfrac{v_{i}^{2}}{2})]- \dfrac{\partial}{\partial q_{j}}(\dfrac{v_{i}^{2}}{2})$$

como queriamos demonstrar.






2) Utilizando as equações de Lagrange, obtenha as equações diferenciais do movimento de um pêndulo duplo.

Resolução:

Este movimento está restrito a vínculos holonômicos, como existem dois graus de liberdade no problema que são os ângulos independêntes $\theta_{1}$ e $\theta_{2}$ é possível encontrar duas equações diferenciais para descrever este sistema.

Considerando as coordenadas de posição dadas por: 

$$x_{1} = l_{1}sen(\theta_{1})\quad  e\quad y_{1} = -l_{1}\cos(\theta_{1})$$

Para a posição da massa $m_{1}$, e,  

$$x_{2} = l_{1}sen(\theta_{1}) + l_{2}sen(\theta_{2})\quad \quad e\quad \quad y_{2} = -l_{1}\cos(\theta_{1}) - l_{2}\cos(\theta_{2}).$$ 

Para a posição da massa $m_{2}$.

E suas velocidades são escritas para massa $m_{1}$ e $m_{2}$ repectivamente como:

$$\dot{x}_{1} = l_{1}\dot{\theta}_{1}\cos(\theta_{1})\quad e \quad \dot{y}_{1} = l_{1}\dot{\theta}_{1}\sin(\theta_{1})$$

$$\dot{x}_{2} = l_{1}\dot{\theta}_{1}\cos(\theta_{1}) + l_{2}\dot{\theta}_{2}\cos(\theta_{2})\quad e \quad \dot{y}_{2} = l_{1}\dot{\theta}_{1}\sin(\theta_{1}) + l_{2}\dot{\theta}_{2}\sin(\theta_{2})$$

Assim, é possível determinar as energias cinética e potencial do sistema, lembrando que: $T = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^{2}$ e $ U = mgy$

$$T=\dfrac{1}{2}m_{1}l_{1}^{2}\dot{\theta}_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}(l_{1}^{2}\dot{\theta}_{1}^{2}+2l_{1}l_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2}) \dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2} +   l_{2}^{2}\dot{\theta}_{2}^{2})  $$

$$U = -m_{1}gl_{1}\cos(\theta_{1})-m_{2}g(l_{1}cos(\theta_{1})+l_{2}cos(\theta_{2}))$$

E é possível definir a Lagrangiana do sistema , $L = T-V$ como:

$$ L = \dfrac{1}{2}m_{1}l_{1}^{2}\dot{\theta}_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}(l_{1}^{2}\dot{\theta}_{1}^{2}+2l_{1}l_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2}) \dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2} +   l_{2}^{2}\dot{\theta}_{2}^{2})  + m_{1}gl_{1}\cos(\theta_{1}) + m_{2}g(l_{1}cos(\theta_{1})+l_{2}cos(\theta_{2}))$$

E podemos calcular os momentos generalizados, $\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta_{i}}}$, ou seja:

$$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta_{1}}} = (m_{1}+m_{2})l_{1}^{2}\dot{\theta}_{1} + m_{2}l_{1}l_{2}cos(\theta_{1}-\theta_{2})\dot{\theta}_{2}$$

$$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta_{2}}}=m_{2}l_{1}l_{2}cos(\theta_{1}-\theta_{2})\dot{\theta}_{1} + m_{2}l_{2}^{2}\dot{\theta}_{2}$$

Tomando a derivada destas equações com relação ao tempo temos:

$$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta_{1}}}) = (m_{1} + m_{2})l_{1}^{2}\ddot{\theta}_{1} + m_{2}l_{1}l_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})\ddot{\theta}_{2} -  m_{2}l_{1}l_{2}\sin(\theta_{1}-\theta_{2})(\dot{\theta}_{1}-\dot{\theta}_{2})\dot{\theta}_{2}\quad e$$

$$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta_{2}}}) =  m_{2}l_{1}l_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})\ddot{\theta}_{1} -  m_{2}l_{1}l_{2}\sin(\theta_{1}-\theta_{2})(\dot{\theta}_{1}-\dot{\theta}_{2})\dot{\theta}_{1} + m_{2}l_{2}^{2}\ddot{\theta}_{2}$$

Calculando as derivadas  $\dfrac{\partial L}{\partial \theta_{i}}$ temos:

$$\dfrac{\partial L}{\partial \theta_{1}} = -(m_{1}+m_{2})gl_{1}\sin(\theta_{1}) - m_{2}l_{1}l_{2}\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\quad e$$

$$\dfrac{\partial L}{\partial \theta_{2}} =  - m_{2}gl_{2}\sin(\theta_{2}) + m_{2}l_{1}l_{2}\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}$$

Usando a equação de Lagrange: $\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}) - \dfrac{\partial L}{\partial q_{i}}=0$,  e os resultados encontrados chega-se as expressões:

$$l_{1}\ddot{\theta}_{1}+\dfrac{m_{2}l_{2}}{m_{1}+m_{2}}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})\ddot{\theta}_{2}+\dfrac{m_{2}l_{2}}{m_{1}+m_{2}}\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\dot{\theta}_{2}^{2} + g\sin(\theta_{1}) = 0\quad e$$

$$l_{1}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+l_{2}\ddot{\theta}_{2}-l_{1}\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\dot{\theta}_{1}^{2} + g\sin(\theta_{2})=0$$ 

Que são as duas equações diferenciais que descrevem o movimento deste sistema.

3)

Obtenha a equação diferencial do movimento utilizando: $$\displaystyle\frac{d}{dt}(\displaystyle\frac{\partial}{\partial \dot{q}_{j}}T)-(\displaystyle\frac{\partial}{\partial q_{j}}T) = Q_{j}$$

Resolução:

Durante o movimento deste sistema, se considerarmos deslocamentos virtuais de forma radial, o trabalho das forças ativas é nulo. Assim a força generalizada $Q_{j}=0$, E como a velocidade angular é constante, tem-se que: $\ddot{\theta}= 0$. 

O movimento está restrito ao plano e pode ser descrito pela coordenada generalizada $\vec{r} = r\hat{u}_{r}$ e a velocidade do sistema pode ser descrita como: $\dot{\vec{r}}= \dot{r}\hat{u}_{r} + r\dot{\hat{u}}_{r} $.

A derivada do vetor direcional unitário $\hat{u}_{r} = \dot{\theta}\hat{u}_{\theta}$ e fazendo o produto escalar encontramos que  $\dot{\vec{r}}.\dot{\vec{r}} = \dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2}$, e a energia cinética do sistema pode ser escrita como: 

$$T = \dfrac{1}{2}m\dot{\vec{r}}.\dot{\vec{r}} = \dfrac{1}{2}m(\dot{r}^{2} + r^{2}\dot{\theta}^{2})$$

E, $\dfrac{\partial T}{\partial \dot{r}} = m\dot{r}$  e $\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\partial T}{\partial \dot{r}}) = m\ddot{r}$,  e  $\dfrac{\partial T}{\partial r} = mr\dot{\theta}^{2}$, lembrando que $\dot{\theta} = \omega$, temos: $\dfrac{\partial T}{\partial r} = mr\omega^{2}$ , e a equação de movimento do sistema é:

$$\ddot{r}-r\omega^{2}=0$$