Lista de Exercícios n° 2 - Trabalhos Virtuais

1) A figura mostra uma escada homogênea de comprimento L e massa m, que está apoiada sobre uma parede vertical sem atrito. No solo contudo, há atrito. Sabendo que o sistema está em equilíbrio, e que a aceleração local da gravidade vale $g$, aplique o Princípio dos trabalhos virtuais para determinar o valor da força de atrito entre a escada e o solo.

Resolução:

A figura a seguir ilustra o diagrama de forças que agem no corpo.

Escrevendo as equações para o ponto A, e para o centro de massa, que são os pontos onde serão analisados os deslocamentos virtuais temos:

$$\vec{x}_{A}= - l\sin(\alpha)\hat{u}_{x}\quad e \quad \vec{y}_{A} = 0\hat{u}_{y}$$

$$ e\quad \vec{x}_{CM}= -\frac{l}{2}\sin(\alpha)\hat{u}_{x}\qquad  \vec{y}_{CM}= \frac{l}{2}\cos(\alpha)\hat{u}_{y}$$

De acordo com o sistema de coordenadas adotado.  Partindo destas equações é possível escrever os deslocamentos virtuais de interesse nas direções $x$ e $y$ como:

$$\delta \vec{x}_{A}= -l\cos(\alpha)\delta \alpha \ \hat{u}_{x}$$   e  $$\delta \vec{y}_{B}= -\frac{l}{2}\sin(\alpha)\delta \alpha \ \hat{u}_{y}$$

E então é possível escrever uma equação para o trabalho virtual $\delta U$. A força normal $\vec{N}$ no ponto A é perpendicular ao deslocamento virtual na direção $x$, então esta força não realiza trabalho. O mesmo ocorre com a força normal no ponto B para o deslocamento virtual que é perpendicular a esta força. A força de atrito pode ser descrita como $\vec{F}_{at} = F_{at}\ \hat{u}_{x}$ e a força peso como $\vec{P} = -P\ \hat{u}_{y}$,

Para as forças que realizam trabalho no deslocamento virtual tem-se:

$$\delta U = \vec{F}_{at}.\delta \vec{x}_{A} + \vec{P}.\delta \vec{y}_{B},$$

E substituindo os valores dos deslocamentos virtuais, e das expressões para as forças, lembrando que o módulo da força peso $\vec{P}$, é dado pelo produto da massa pela aceleração da gravidade, logo:

$$\delta U = F_{at}\ \hat{u}_{x}(-l\cos(\alpha)\delta \alpha \ \hat{u}_{x}) +  (-P \ \hat{u}_{y}).(-\frac{l}{2}\sin(\alpha)\delta \alpha \ \hat{u}_{y})\quad ou\quad \delta U = [F_{at}\cos(\alpha) - \frac{mg}{2}\sin(\alpha)]l\delta \alpha$$

Pelo princípio dos trabalhos virtuais o trabalho virtual total é zero, então tem-se que:

$$[-F_{at}\cos(\alpha) + \frac{mg}{2}\sin(\alpha)]\ l\ \delta \alpha = 0$$

De onde é possível escrever a equação para a força de atrito como:  $F_{at}= \dfrac{mg}{2}\tan(\alpha)$ ou de modo vetorial:

$$\vec{F}_{at}= \dfrac{mg}{2}\tan(\alpha)\ \hat{u}_{x}$$




2) Um bloco de massa $m_{1} = 10\ kg$, que está preso a uma parede através de uma corrente ideal horizontal, é colocado sobre um segundo bloco. Este segundo bloco que tem massa $m_{2} = 25\ kg$, é submetido a uma força horizontal de módulo $ F = 120\ N$ que o afasta da parede. sabe-se que $\mu = 0,25$ é o valor do coeficiente de atrito cinético entre os dois blocos e também entre o bloco 2 e o solo. Nestas condições, utilize o Princípio de D'Alembert para determinar a aceleração do bloco 2.

Resolução:

O diagrama de forças ativas no bloco está representado na figura a seguir:

o movimento ocorre na direção do eixo x, e pode-se definir um deslocamento virtual dado por: $\delta x\ \hat{u}_{x}$, tomando o princípio de D'alembert:


                                $$\sum_{i}^{N} (\vec{F}_{i} - \dot{\vec{p}}_{i})\delta \vec{r}_{i} = 0$$



Ou seja, $ (\vec{F} + \vec{F}_{at1} + \vec{F}_{at2} + m_{2}\vec{a})\delta x\ \hat{u}_{x} = 0$, e como as forças podem ser escritas para o referêncial adotado como:

$F_{at1} = - \mu m_{1}g\ \hat{u}_{x}$ e $F_{at2} = - \mu (m_{1} + m_{2})g\ \hat{u}_{x}$.

Logo a equação pode ser escrita como:

$$F - \mu m_{1}g - \mu (m_{1} + m_{2})g - m_{2}a = 0$$

De onde é possível determinar a expressão para a aceleração do sistema:

$$ a = \dfrac{F - \mu g( 2m_{1} + m_{2})}{m_{2}}$$

Substituindo os valores das massas, do coeficiente de atrito, e do módulo de $\vec{F}$, com a aproximação para o módulo da aceleração gravitacional dada por: $g = 9,8 \frac{m}{s^{2}}$, encontra-se para aceleração o valor de:

$$\vec{a} = 0,39\ \dfrac{m}{s^{2}}\ \hat{u}_{x}.$$