Lista de Exercícios 5 - Equação de Euler-Lagrange e Potencial Generalizado.

1) Uma partícula se move num plano sobre a influência de uma força central (atuando em direção ao centro da força) cuja magnitude é:
$$F = \dfrac{1}{r^2}(1-\dfrac{ \dot{r}^{2}-2\ddot{r}r}{c^{2}})$$

Solução:

Fazendo a multiplicação dos termos:
$$F = \dfrac{1}{r^{2}}-\dfrac{\dot{r}}{c^{2}r^{2}} +\dfrac{2\ddot{r}}{c^{2}r}$$                   (1)

Lembrando que: $Q = -\dfrac{\partial U}{\partial r} +\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\partial U }{\partial \dot{r}})$ é a expressão para a força generalizada em função do potencial generalizado.

Determinar por integração direta e obter o potencial generalizado pode não ser uma tarefa simples, por sorte observando os termos na expressão vemos que se escolhermos um termo tal como $\dfrac{2\dot{r}}{c^{2}r}$ a sua derivada no tempo fornece uma expressão que contém o terceiro termo da força na expressão (1). $\dfrac{d}{dt}(\dfrac{2\dot{r}}{c^{2}r}) = \dfrac{-2\dot{r}^{2}}{c^{2}r} + \dfrac{2\ddot{r}}{c^{2}r}$, e este termo pode na verdade ser escrito como uma derivada em $\dot{r}$ tal que: $\dfrac{\partial }{\partial \dot{r}}\dfrac{\dot{r}^{2}}{c^{2}r^{2}} = \dfrac{2\dot{r}}{c^{2}r}$, podemos imaginar que o termo que está faltando na expressão para podermos escrever a força seja dado por : $-\dfrac{\partial}{\partial r}\dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{r^{2}}$,

Então um potencial escolhido de acordo com a expressão é: $$U = \dfrac{1}{r} + \dfrac{\dot{r}^{2}}{c^{2}{r}}$$ que fornece a força desejada.

A Lagrangeana é dada por: $L = T-U$, e $T$ pode ser dado por $T=\dfrac{1}{2}m({\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}})$,  e então a Lagrangeana do sistema fica:

$$L = \dfrac{1}{2}m({\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}}) - \dfrac{1}{r} - \dfrac{\dot{r}^{2}}{c^{2}{r}}$$


2) Uma Lagrangeana para um sistema particular pode ser escrito como:
$$L = \dfrac{m}{2}(a\dot{x}^{2} + b\dot{x}\dot{y} + c\dot{y}^{2})-\dfrac{k}{2}(ax^{2} + bxy + cy^{2})$$
onde a, b e c, são constantes arbitrárias, mas sujeitas a condições: $b^{2}-ac \neq 0.$ QUais são as equações do movimento? Examine particularmente os dois casos $ a=0=c$ e $b=0$,  $c=-a$.

Qual o sistema físico descrito pela Lagrangeana acima.

Solução: Temos duas coordenadas generalizadas, o que significa dosi graus de liberdade, e portanto duas equações para descrever o sistema. Usando a equação de Euler-Lagrange, temos:
para a coordenada x:
$\dfrac{\partial L'}{\partial \dot{x}}=ma\dot{x} +mb\dot{y}$ e $\dfrac{\partial L'}{\partial x}=-Kax -Kby$
 e para a coordenada y:

$\dfrac{\partial L'}{\partial \dot{y}}=mb\dot{x} +mc\dot{y}$ e $\dfrac{\partial L'}{\partial y}=-Kbx -Kcy$

Ou escrevendo de outra forma:

$$a\ddot{x} + b\ddot{y} + \dfrac{k}{m}(ax + by) = 0\quad e$$

$$b\ddot{x} + c\ddot{y} + \dfrac{k}{m}(bx + cy) = 0\quad $$


Se $ a= c =o$, então
$$\ddot{y} + \dfrac{k}{m}y = 0\quad e$$
$$\ddot{x} + \dfrac{k}{m}y = 0\quad $$

Temos as equações de dois osciladores harmônicos, uma para cada grau de liberdade do sistema. Quando $b=0$ e $c=-a$ tem-se:

$$-c(\ddot{x} + \dfrac{k}{m}x) = 0\quad e$$
$$ c(\ddot{y} + \dfrac{k}{m}y) = 0\quad $$

Novamente, temos as equações de dois osciladores harmônicos, uma para cada grau de liberdade.

3) Uma partícula de massa m move-se em uma direção tal que tem sua lagrangeana dada:

$$L = \dfrac{m^{2}\dot{x}^{4}}{12} + m\dot{x}^{2}V(x) - V^{2}(x)$$

Onde V, é uma função diferenciável de x. Encontre a equação do movimento para $x(t)$. E descreva e descreva a natureza física do sistema com base nesta equação.


Solução: substituindo a Lagrangeana na equação de Euler-Lagrange, $\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}})-\dfrac{\partial L}{\partial x}=0$, assim:

$$\dfrac{\partial L}{\partial x} = (m\dot{x}^{2}-2V)\dfrac{\partial V}{\partial x}\quad , e$$


$$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \dfrac{1}{3}m^{2}\dot{x}^{3} + 2m\dot{x}V(x)$$

E derivando com relação ao tempo temos:

$$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}) = m\ddot{x}(m\dot{x}^{2} + 2V(x)) + 2m\dot{x}\dot{V}(x)$$



Escrevendo $\dot{V}(x) = \dot{x}\dfrac{dV}{dx}$ a equação de Euler-Lagrange fica:

$$m^{2}\dot{x}^{2}\ddot{x} + 2m\ddot{x}V(x) + m\dot{x}^{2}\dfrac{dV(x)}{dx} + 2V(x)\dfrac{dV(x)}{dx}=0$$

Então: $(m\ddot{x} + \dfrac{dV(x)}{dx})(m\dot{x}^{2} + 2V(x)) = 0.$
É possível manipular os termos dentro dos parenteses, fazendo $F = -\dfrac{\partial V(x)}{\partial x}$ e $T = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^{2}$, e então podemos escrever:

$$(F-m\ddot{x})(T + V(x)) = 0$$

E desta equação, ou $F - m\ddot{x} = 0$,   ou então $T + V(x)  = 0$.