Lista de Exercícios 8 - Hamiltoniana.


1) Suponha que a função de Hamilton para um sistema de N partículas não varie quando ocorre uma translação infinitesimal de todo o sistema. Discuta a Conservação de Momentum.

Resolução:

Dada a Hamiltoniana de um sistema temos que a equação de Hamilton que descreve a variação dessa Hamiltoniana com relação a uma variação translacional infinitesimal é: $\frac{\partial H}{\partial q_{j}} = -\dot{p_{j}}$, como não ocorreu variação em H, isto implica que o momentum conjugado a esta coordenada ciclica $q_{j}$ é conservado.

2) Obtenha a função de Hamilton para um oscilador anarmônico, cuja função de Lagrange é dada por:

$$L = \frac{\dot{x^{2}}}{2}-\frac{w^{2}x^{2}}{2}-\alpha x^{3} +\beta x\dot{x}^{2}$$

Resolução:

Dada a Lagrangeana, pode-se usando a transformação de Legendre escrever:

$H = p\dot{q}-L$, onde p é o momento conjugado a coordenada x, e é dado por: $p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$, sendo que para este sistema $q=x$. Assim temos que:

$p_{x} = \dot{x} + 2\beta x\dot{x}$, ou $\dot{x} = \frac{p_{x}}{1 + 2\beta x}$, e a Hamiltoniana fica : 

$$H= p_{x}(\frac{p_{x}}{1+2\beta x})-\frac{\dot{x}^{2}}{2}+ \frac{w^{2}x^{2}}{2}+ \alpha x^{3}-\beta x\dot{x}^{2}$$

que escrito como $H = H(x,p_{x})$ fica:

$$ H = \frac{1}{2} (\frac{p_{x}^{2}}{1+2\beta x}) + \frac{w^{2}x^{2}}{2}+ \alpha x^{3}$$ 

3) Ache a equação de movimento de uma partícula, cuja função de Hamilton é:

a) $H(x,p_{x}) = \frac{p_{x}^2}{2}+\frac{w^{2}x^{2}}{2}+ \lambda (\frac{p_{x}^{2}}{2}+\frac{w^{2}x^{2}}{2})^{2}$

b) $H(x,p_{x}) =A\sqrt{p}-xF$

Resolução: 

Usando as equações canônicas $ \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p_{x}}$ e $\dot{p_{x}}= -\frac{\partial H}{\partial x} $  temos:

a) $ \dot{x} = p_{x} + \lambda (p_{x}^{2}+w^{2}x^{2})p_{x}$, ou $$ \dot{x} = p_{x}(1 + \lambda (p_{x}^{2}+w^{2}x^{2}))$$ 

E,  $\dot{p}_{x} = -(w^{2}x + \lambda (p_{x}^{2}+w^{2}x^{2})w^{2}x)$, ou  $$\dot{p} = -w^{2}x(1+ \lambda(p_{x}^{2}+w^{2}x^{2}) )$$

 b) Se A e F forem constantes arbitrárias teremos  $\dot{x} = \frac{A}{2\sqrt{p_{x}}}$ e $\dot{p_{x}} = F$,

Ou seja, $p_{x} = F.t$, e $x = A\sqrt(\frac{t}{F})+C$, onde C é uma constante.