Lista 10 - Transformação Canônica.

1)
a) Ache a transformação canônica definida pela função geradora:  $$F(q,Q,t) =\dfrac{1}{2}m\omega q^{2}cot(Q)$$.

Escreva as equações do movimento nas variáveis Q e P para um oscilador harmônico de frequência angular $\omega$.

b) Ache a transformação canônica definida pela função geradora: $$F(q,Q,t) = \dfrac{1}{2}m\omega (q - \dfrac{f(t)}{m\omega^{2}})^{2}cot(Q)$$.

Escreva as equações do movimento nas variáveis Q e P para o mesmo oscilador do item anterior quando este é submetido a uma força externa $f(t)$.


Resolução:

a) $F = F(q,Q,t)$ é uma função geratriz do tipo 1. E tem-se que:

$p = \dfrac{\partial F}{\partial q}$, 

$P = -\dfrac{\partial F}{\partial Q}$, e

$K(Q,P,t) = H(q,p,t) + \dfrac{\partial F}{\partial t}$ 

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$p = m\omega qcot(Q)$,  

$P = -(-\dfrac{1}{2}m\omega q^{2}cosec^{2}(Q) ) = \dfrac{m\omega q^{2}}{2sin^{2}(Q)}$.

O que permite escrever: 

$q = \sqrt(\dfrac{2P}{m\omega})sin(Q)$; 

e

 $p = \sqrt(2Pm\omega)cos(Q)$. 

Que são as duas equações de transformação canônica. Para um oscilador harmônico simples de frequência $\omega$ e massa $m$ a expressão do Hamiltoniano é dado por:

$H = \dfrac{1}{2m}(p^{2} + m^{2}\omega^{2} q^{2})$.

Onde $w = \sqrt(\dfrac{k}{m})$.  Realizando a transformação canônica, e lembrando que $\dfrac{\partial F}{\partial t} = 0$, ou seja,  $K=H$, então :

$$K = P\omega$$.

Usando as expressões para a Kamiltoniana temos: 

$\dot{Q} = \dfrac{\partial K}{\partial P}$ 

e

 $\dot{P} = -\dfrac{\partial K}{\partial Q}$. 

Então: 

$$\dot{Q} = \omega$$

$$\dot{P} = 0$$

Que são as equações do movimento.

b) Esta função geradora também é do tipo 1. Repetindo os mesmo procedimentos utilizados temos:

$p = \dfrac{\partial F}{\partial q} = m\omega (q-\dfrac{f(t)}{m\omega^{2}})cot(Q)$        (1 b)

$P = -\dfrac{\partial F}{\partial Q}  = \dfrac{m\omega(q-\dfrac{f(t)}{m\omega^{2}})^{2}}{2\sin^{2}     (Q)}$     (2 b)

$\dfrac{\partial F}{\partial t} = -\dfrac{\dot{f}(t)}{\omega}(q-\dfrac{f(t)}{m\omega^{2}})cot(Q)$.    (3b)

De (2 b) podemos escrever:

$q = \sqrt{\dfrac{2P}{m\omega}}sin(Q) + \dfrac{f(t)}{m\omega^{2}}$  (4 b)

e substituindo este resultado em (1 b) temos:

$p = \sqrt{2Pm\omega}cos(Q)$    (5 b)

4 e 5 b são as duas equações de transformação.

A Hamiltoniana do oscilador sob ação de uma força externa pode ser escrita como:

$H = \dfrac{p^{2}}{2m} + \dfrac{ m\omega^{2}}{2} (q-\dfrac{f(t)}{m\omega^{2}})^{2}$.

Onde o fator $\dfrac{f(t)}{m\omega^{2}}$  representa a distensão do oscilador de constante de mola $ k = m\omega^{2}$,  quando sujeito a força adicional  $ f(t) $.   A Kamiltoniana é obtida da expressão $K(q,Q,t) = H(q,p,t) + \dfrac{\partial F}{\partial t}$, portanto:

$K = \omega P -\dfrac{\dot{f}(t)}{\omega}(q-\dfrac{f(t)}{m\omega^{2}})cot(Q)$

ou, 

$K = \omega P -\dfrac{\dot{f}(t)}{\omega}\sqrt{\dfrac{2P}{m\omega}}cos(Q)$

portanto: 

$\dot{Q} = \dfrac{\partial K}{\partial P} = \omega - \dfrac{\dot{f}(t)}{2\omega}\sqrt{\dfrac{2}{m\omega P}}cos(Q)$

e

$\dot{P} = \dfrac{\partial K}{\partial Q} = \dfrac{\dot{f}(t)}{\omega}\sqrt{\dfrac{2P}{m\omega }}sin(Q)$

Que são as duas equações do movimento nas coordenadas P e Q.

2)
a) Resolva usando a formulação Hamiltoniana o problema de uma partícula de massa $m$ que sofre uma queda livre a partir do repouso


Consideremos uma partícula de massa $m$, em queda livre sob ação da força gravitacional de aceleração $\vec{a} = g$, energia cinética desta partícula é: $T = \dfrac{1}{2}m\dot{y}^{2}$ e a energia potencial é : $V = -mgy$, cuja lagrangeana é $L = \dfrac{1}{2}m\dot{y}^{2} + mgy$,  portanto a Hamiltoniana deste sistema é:
$H = \dfrac{1}{2}m\dot{y}^{2} - mgy$, que reescrito e considerando que $ p = \dfrac{\partial L}{\partial q}$, ou seja $ p = m\dot{y}$. Temos:

$H = \dfrac{p^{2}}{2m} - mgq$

E pode-se obter escrever:

$\dot{p} = -\dfrac{\partial H}{\partial q} = mg$  (2a)

e

$\dot{q} = \dfrac{\partial H}{\partial p} = mp$ (2b)

Substituindo 2a em 2b, temos: $\ddot{q} = g$, ou seja,

$q(t) = g\dfrac{t^{2}}{2} + at + b$, usando as condições de contorno: $q(0) = 0$, e $\dot{q}(0) = 0$, temos:

$q(t) = \dfrac{1}{2}gt^{2}$

b) É possível reescrever este problemas em termos de novas coordenadas e momentos de modo que única coordenada seja cíclica?

Resposta:

Sim, é possível. Observando que a energia mecânica se conserva, neste caso, pode-se simplesmente definir uma grandeza para ser a grandeza física idêntica a energia mecânica e então encontrar a variável cíclica associada, Como o momento linear total se conserva, vamos por exemplo supor que $P = \dfrac{p^{2}}{2m} - mgq$. Então a Kamiltoniana é $K = P$, e neste caso $Q$ é a variável cíclica associada. Mas, a forma de realizar esta transformação não é única, e outros casos são possíveis de ser encontrados.


c) Em caso afirmativo, determine F, a função geratriz de transformação canônica correspondente. Se necessário utilize a resposta do item a) para descobrir a transformação. usando a transformação $P = \dfrac{p^{2}}{2m} - mgq$, pode-se escrever : $q = \dfrac{1}{mg}(\dfrac{p^{2}}{2m}-P)$. Vamos escolher uma função do tipo $F_{4}$, assim: $q_{i} = -\dfrac{\partial F_{4}}{\partial p_{i}}$, utilizando esta expressão e a função conhecida para $q_{i}$, podemos então integrar em $p_{i}$ e obter $F_{4} = F(p,P,t)$.

$F_{4} = -\int \dfrac{1}{mg}(\dfrac{p^{2}}{2m}-P)dp$

$F_{4} = \dfrac{1}{mg}(Pp - \dfrac{p^{3}}{6m})$

Esta é a função desejada.