Lista 10 - Transformação Canônica.

1)
a) Ache a transformação canônica definida pela função geradora:  $$F(q,Q,t) =\dfrac{1}{2}m\omega q^{2}cot(Q)$$.

Escreva as equações do movimento nas variáveis Q e P para um oscilador harmônico de frequência angular $\omega$.

b) Ache a transformação canônica definida pela função geradora: $$F(q,Q,t) = \dfrac{1}{2}m\omega (q - \dfrac{f(t)}{m\omega^{2}})^{2}cot(Q)$$.

Escreva as equações do movimento nas variáveis Q e P para o mesmo oscilador do item anterior quando este é submetido a uma força externa $f(t)$.


Resolução:

a) $F = F(q,Q,t)$ é uma função geratriz do tipo 1. E tem-se que:

$p = \dfrac{\partial F}{\partial q}$, 

$P = -\dfrac{\partial F}{\partial Q}$, e

$K(Q,P,t) = H(q,p,t) + \dfrac{\partial F}{\partial t}$ 

logo:

$p = m\omega qcot(Q)$,  

$P = -(-\dfrac{1}{2}m\omega q^{2}cosec^{2}(Q) ) = \dfrac{m\omega q^{2}}{2sin^{2}(Q)}$.

O que permite escrever: 

$q = \sqrt(\dfrac{2P}{m\omega})sin(Q)$; 

e

 $p = \sqrt(2Pm\omega)cos(Q)$. 

Que são as duas equações de transformação canônica. Para um oscilador harmônico simples de frequência $\omega$ e massa $m$ a expressão do Hamiltoniano é dado por:

$H = \dfrac{1}{2m}(p^{2} + m^{2}\omega^{2} q^{2})$.

Onde $w = \sqrt(\dfrac{k}{m})$.  Realizando a transformação canônica, e lembrando que $\dfrac{\partial F}{\partial t} = 0$, ou seja,  $K=H$, então :

$$K = P\omega$$.

Usando as expressões para a Kamiltoniana temos: 

$\dot{Q} = \dfrac{\partial K}{\partial P}$ 

e

 $\dot{P} = -\dfrac{\partial K}{\partial Q}$. 

Então: 

$$\dot{Q} = \omega$$

$$\dot{P} = 0$$

Que são as equações do movimento.

b) Esta função geradora também é do tipo 1. Repetindo os mesmo procedimentos utilizados temos:

$p = \dfrac{\partial F}{\partial q} = m\omega (q-\dfrac{f(t)}{m\omega^{2}})cot(Q)$        (1 b)

$P = -\dfrac{\partial F}{\partial Q}  = \dfrac{m\omega(q-\dfrac{f(t)}{m\omega^{2}})^{2}}{2\sin^{2}     (Q)}$     (2 b)

$\dfrac{\partial F}{\partial t} = -\dfrac{\dot{f}(t)}{\omega}(q-\dfrac{f(t)}{m\omega^{2}})cot(Q)$.    (3b)

De (2 b) podemos escrever:

$q = \sqrt{\dfrac{2P}{m\omega}}sin(Q) + \dfrac{f(t)}{m\omega^{2}}$  (4 b)

e substituindo este resultado em (1 b) temos:

$p = \sqrt{2Pm\omega}cos(Q)$    (5 b)

4 e 5 b são as duas equações de transformação.

A Hamiltoniana do oscilador sob ação de uma força externa pode ser escrita como:

$H = \dfrac{p^{2}}{2m} + \dfrac{ m\omega^{2}}{2} (q-\dfrac{f(t)}{m\omega^{2}})^{2}$.

Onde o fator $\dfrac{f(t)}{m\omega^{2}}$  representa a distensão do oscilador de constante de mola $ k = m\omega^{2}$,  quando sujeito a força adicional  $ f(t) $.   A Kamiltoniana é obtida da expressão $K(q,Q,t) = H(q,p,t) + \dfrac{\partial F}{\partial t}$, portanto:

$K = \omega P -\dfrac{\dot{f}(t)}{\omega}(q-\dfrac{f(t)}{m\omega^{2}})cot(Q)$

ou, 

$K = \omega P -\dfrac{\dot{f}(t)}{\omega}\sqrt{\dfrac{2P}{m\omega}}cos(Q)$

portanto: 

$\dot{Q} = \dfrac{\partial K}{\partial P} = \omega - \dfrac{\dot{f}(t)}{2\omega}\sqrt{\dfrac{2}{m\omega P}}cos(Q)$

e

$\dot{P} = \dfrac{\partial K}{\partial Q} = \dfrac{\dot{f}(t)}{\omega}\sqrt{\dfrac{2P}{m\omega }}sin(Q)$

Que são as duas equações do movimento nas coordenadas P e Q.

2)
a) Resolva usando a formulação Hamiltoniana o problema de uma partícula de massa $m$ que sofre uma queda livre a partir do repouso


Consideremos uma partícula de massa $m$, em queda livre sob ação da força gravitacional de aceleração $\vec{a} = g$, energia cinética desta partícula é: $T = \dfrac{1}{2}m\dot{y}^{2}$ e a energia potencial é : $V = -mgy$, cuja lagrangeana é $L = \dfrac{1}{2}m\dot{y}^{2} + mgy$,  portanto a Hamiltoniana deste sistema é:
$H = \dfrac{1}{2}m\dot{y}^{2} - mgy$, que reescrito e considerando que $ p = \dfrac{\partial L}{\partial q}$, ou seja $ p = m\dot{y}$. Temos:

$H = \dfrac{p^{2}}{2m} - mgq$

E pode-se obter escrever:

$\dot{p} = -\dfrac{\partial H}{\partial q} = mg$  (2a)

e

$\dot{q} = \dfrac{\partial H}{\partial p} = mp$ (2b)

Substituindo 2a em 2b, temos: $\ddot{q} = g$, ou seja,

$q(t) = g\dfrac{t^{2}}{2} + at + b$, usando as condições de contorno: $q(0) = 0$, e $\dot{q}(0) = 0$, temos:

$q(t) = \dfrac{1}{2}gt^{2}$

b) É possível reescrever este problemas em termos de novas coordenadas e momentos de modo que única coordenada seja cíclica?

Resposta:

Sim, é possível. Observando que a energia mecânica se conserva, neste caso, pode-se simplesmente definir uma grandeza para ser a grandeza física idêntica a energia mecânica e então encontrar a variável cíclica associada, Como o momento linear total se conserva, vamos por exemplo supor que $P = \dfrac{p^{2}}{2m} - mgq$. Então a Kamiltoniana é $K = P$, e neste caso $Q$ é a variável cíclica associada. Mas, a forma de realizar esta transformação não é única, e outros casos são possíveis de ser encontrados.


c) Em caso afirmativo, determine F, a função geratriz de transformação canônica correspondente. Se necessário utilize a resposta do item a) para descobrir a transformação. usando a transformação $P = \dfrac{p^{2}}{2m} - mgq$, pode-se escrever : $q = \dfrac{1}{mg}(\dfrac{p^{2}}{2m}-P)$. Vamos escolher uma função do tipo $F_{4}$, assim: $q_{i} = -\dfrac{\partial F_{4}}{\partial p_{i}}$, utilizando esta expressão e a função conhecida para $q_{i}$, podemos então integrar em $p_{i}$ e obter $F_{4} = F(p,P,t)$.

$F_{4} = -\int \dfrac{1}{mg}(\dfrac{p^{2}}{2m}-P)dp$

$F_{4} = \dfrac{1}{mg}(Pp - \dfrac{p^{3}}{6m})$

Esta é a função desejada.

Lista 9 - Teorema de Noether

1) Demonstre o teorema de Noether.

Solução:


Vamos supor um sistema descrito pela Lagrangeana $L(q(t),\dot{q}(t),t)$ e que a ação associada é : $S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t),\dot{q}(t),t)dt$.

Supondo a seguinte transformação:

$t \mapsto t' = t + \epsilon X(q(t),t)$ e $q(t) \mapsto q(t') = q(t) + \epsilon \Psi_{i} (q(t),t)$. Onde $\epsilon$  é um parâmetro infinitesimal.


Agora vamos supor que a ação é invariante sob a transformação considerada. Agora, calculando a variação da ação temos:

$$\Delta S = \int_{t'_{1}}^{t'_{2}}L(q(t'),\frac{dq(t')}{dt'},t')dt' - \int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t),\frac{dq(t)}{dt},t)dt$$


Fazendo uma mudança na integral da Lagrangeana em $dt'$, para a variável de integração $dt$, levando em conta as transformações temos que :

$\dfrac{dt'}{dt} = 1+\epsilon \dot{X}$, de onde $\frac{dt}{dt'} = (1+\epsilon \dot{X})^{-1}$, e expandindo este último termo usando a expansão binomial, considerando apenas os termos de primeira ordem tem-se:

$\dfrac{dt}{dt'} = 1-\epsilon \dot{X}$, portanto:

$\dfrac{dq'(t')}{dt'} = \dfrac{dq'(t')}{dt} \dfrac{dt}{dt'} $ tomando a derivada da transformação de $q'(t')$ e substituindo a expressão encontrada para $\dfrac{dt}{dt'}$ temos que: $\dfrac{dq'(t')}{dt'} = \dot{q}_{i}+\epsilon \xi_{i}$.

Sendo que $\xi = \dot{\Psi}_{i}-\dot{q}_{i}\dot{X}$, tendo descartados os termos de ordem maior que 1 em $\epsilon$.

Reescrevendo a variação na integral de ação em termos da variável $dt$ obtem-se:

$$\Delta S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t)+\epsilon \Psi, \dot{q}+\epsilon \xi,t + \epsilon X)(1+\epsilon \dot{X})dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t),\frac{dq(t)}{dt},t)dt$$

Para calcular a variação na ação vamos primeiramente expandir a  primeira Lagrangeana numa série de Taylor de primeira ordem e então calcular a variação na ação.


$L(q(t)+\epsilon \Psi, \dot{q}+\epsilon \xi,t + \epsilon X) = L(q,\dot{q},t) + \sum_{i=1}^{n} (\dfrac{\partial L}{\partial q_{i}}\epsilon \Psi_{i} + \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\epsilon \xi_{i}) + \dfrac{\partial L}{\partial t}\epsilon X$

Então a variação na ação pode ser escrita como: $\Delta S = \epsilon \int_{t_{1}}^{t_{2}} [\sum_{i=1}^{n} (\dfrac{\partial L}{\partial q_{i}}\Psi_{i} + \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\xi_{i}) + \dfrac{\partial L}{\partial t}X + L\dot{X}]dt$

Como $\epsilon$ e os limites de integração são arbitrários, para que a ação seja nula, é necessário que o integrando seja nulo. Portanto : $\sum_{i=1}^{n} [\dfrac{\partial L}{\partial q_{i}}\Psi_{i} + \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}(\dot{\Psi}_{i}-\dot{q}_{i}\dot{X})] + \dfrac{\partial L}{\partial t}X + L\dot{X} = 0$


Agora iremos utilizar a equação de Lagrange, $\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}) - \dfrac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0$ para escrever a derivada parcial em $\dot{q}_{i}$. Então:

$\sum_{i=1}^{n} [\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}})\Psi_{i} + \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\dot{\Psi}_{i}]-(\sum_{i=1}^{n}\dot{q}_{i}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}- L)\dot{X} + \dfrac{\partial L}{\partial t}X= 0$.

Como sabemos que : $\dfrac{dh}{dt}=-\dfrac{\partial L}{\partial t}$, escrevendo o primeiro termo como a derivada do produto, e lembrando que $ h = \sum_{i=1}^{n}\dot{q}_{i}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}- L$ então:

$$\sum_{i=1}^{n} [\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\Psi_{i}) -hX - \dfrac{dh}{dt}X$$

O termos negativos podem ser reescritos como: $-\dfrac{d}{dt}[hX]$, e vemos que a constante do movimento pode ser escrita como:  $C = hX - \dfrac{d}{dt}(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}})\Psi_{i}$, ou reescrita como:

$$\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}(\dot{q}_{i}X-\Psi_{i}) - LX = C$$

Onde C é uma constante do Movimento.


2) Apresente uma situação Física para cada um dos casos abaixo:

a) A função de Hamilton é conservada, mas não corresponde à energia mecânica.
b) A função de Hamilton corresponde a energia mecânica, mas não é conservada.

Resolução:
a) Se encontrarmos um termo que depende da velocidade na função de Hamilton, isto já é suficiente para podermos dizer que esta expressão não corresponde somente a energia mecânica do corpo. Um exemplo deste fato é o caso de uma partícula carregada num campo eletromagnético. Camo já vimos a Lagrangeana deste sistema é dado por: $L =\dfrac{m\dot{x}^{2}}{2}-q(\phi + \dfrac{\dot{\vec{x}}}{c}.\vec{A})$, onde q é a carga da partícula, c é a velocidade da luz,  $\vec{A}$ é o potencial vetor, e $\phi$ o potencial escalar. Estes potenciais não dependem do tempo, e a Lagrangeana não depende diretamente do tempo, logo $\dfrac{\partial L}{\partial t} = 0$ e imediatamente, $\dfrac{dH}{dt} = 0$, ou seja, H é conservado. Porém o potencial depende da velocidade, e portanto não corresponde somente a energia mecânica.

b) Neste caso basta que a Hamiltoniana dependa diretamente do tempo, e que o potêncial não seja função da velocidade, para que a Hamiltoniana corresponda a energia mecânica e que não seja conservada. Por exemplo um pêndulo de massa m tem seu comprimento l encurtado a uma taxa constante $\alpha$, ou seja, $l(t) = l_{0}-\alpha t$. O Lagrangeano do sistema é $L = \dfrac{1}{2}m\alpha^{2} + \dfrac{1}{2}ml(t)^{2}\dot{\theta}^{2} + mgl(t)cos\theta$. Logo como $\dfrac{\partial L}{\partial t}\neq 0 \mapsto \dfrac{dH}{dt} \neq 0$. A energia não é conservada, mas corresponde a energia mecânica.

3) Escreva a função de Hamilton para um sistema massa-mola cuja constante elástica vale k e a massa vale m. Escolha dois conjuntos distintos de condições iniciais e represente o movimento do sistema no espaço de fase em cada caso.

Resolução:

O sistema pode ser descrito pela lagrangeana $L = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^{2} - \dfrac{1}{2}kx^{2}$.
Sistema com 1 grau de liberdade. O hamiltoniano do sistema é descrito por : $H = p\dot{q}-L$, onde as coordenadas generalizadas são $q = x$, e $p = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m\dot{x}$ que implica que $\dot{x} = \dfrac{p}{m}$, então:

$ H =  \dfrac{p^{2}}{2m} + \dfrac{1}{2}kx^{2}$.

Usando as equação de Hamilton temos que :

$\dot{p} = -\dfrac{\partial H}{\partial x} = -kx$ e $\dot{x} = \dfrac{\partial H}{\partial p} = \dfrac{p}{m}$

Se prestarmos atenção na expressão do Hamiltoniano, não precisamos resolver este sistema, já que a energia total E é conservada, ou seja: $p = \sqrt{2mE}$,  em $x = 0$, e $x = \sqrt{\dfrac{2E}{k}}$, para $p=0$. Então:

$$\dfrac{x^2}{(2E/k)} + \dfrac{p^2}{(2mE)}=1.$$

Para duas condições iniciais $(x_{0},p_{0})$ diferentes teremos duas energias diferentes. De modo geral o espaço de fase é dado por curvas do tipo:

Onde E e E', representam condições iniciais diferentes para o sistema dentro dos limites de oscilações periódicas.

Lista de Exercícios 8 - Hamiltoniana.


1) Suponha que a função de Hamilton para um sistema de N partículas não varie quando ocorre uma translação infinitesimal de todo o sistema. Discuta a Conservação de Momentum.

Resolução:

Dada a Hamiltoniana de um sistema temos que a equação de Hamilton que descreve a variação dessa Hamiltoniana com relação a uma variação translacional infinitesimal é: $\frac{\partial H}{\partial q_{j}} = -\dot{p_{j}}$, como não ocorreu variação em H, isto implica que o momentum conjugado a esta coordenada ciclica $q_{j}$ é conservado.

2) Obtenha a função de Hamilton para um oscilador anarmônico, cuja função de Lagrange é dada por:

$$L = \frac{\dot{x^{2}}}{2}-\frac{w^{2}x^{2}}{2}-\alpha x^{3} +\beta x\dot{x}^{2}$$

Resolução:

Dada a Lagrangeana, pode-se usando a transformação de Legendre escrever:

$H = p\dot{q}-L$, onde p é o momento conjugado a coordenada x, e é dado por: $p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$, sendo que para este sistema $q=x$. Assim temos que:

$p_{x} = \dot{x} + 2\beta x\dot{x}$, ou $\dot{x} = \frac{p_{x}}{1 + 2\beta x}$, e a Hamiltoniana fica : 

$$H= p_{x}(\frac{p_{x}}{1+2\beta x})-\frac{\dot{x}^{2}}{2}+ \frac{w^{2}x^{2}}{2}+ \alpha x^{3}-\beta x\dot{x}^{2}$$

que escrito como $H = H(x,p_{x})$ fica:

$$ H = \frac{1}{2} (\frac{p_{x}^{2}}{1+2\beta x}) + \frac{w^{2}x^{2}}{2}+ \alpha x^{3}$$ 

3) Ache a equação de movimento de uma partícula, cuja função de Hamilton é:

a) $H(x,p_{x}) = \frac{p_{x}^2}{2}+\frac{w^{2}x^{2}}{2}+ \lambda (\frac{p_{x}^{2}}{2}+\frac{w^{2}x^{2}}{2})^{2}$

b) $H(x,p_{x}) =A\sqrt{p}-xF$

Resolução: 

Usando as equações canônicas $ \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p_{x}}$ e $\dot{p_{x}}= -\frac{\partial H}{\partial x} $  temos:

a) $ \dot{x} = p_{x} + \lambda (p_{x}^{2}+w^{2}x^{2})p_{x}$, ou $$ \dot{x} = p_{x}(1 + \lambda (p_{x}^{2}+w^{2}x^{2}))$$ 

E,  $\dot{p}_{x} = -(w^{2}x + \lambda (p_{x}^{2}+w^{2}x^{2})w^{2}x)$, ou  $$\dot{p} = -w^{2}x(1+ \lambda(p_{x}^{2}+w^{2}x^{2}) )$$

 b) Se A e F forem constantes arbitrárias teremos  $\dot{x} = \frac{A}{2\sqrt{p_{x}}}$ e $\dot{p_{x}} = F$,

Ou seja, $p_{x} = F.t$, e $x = A\sqrt(\frac{t}{F})+C$, onde C é uma constante.